Une équation est une relation d'égalité contenant une une plusieurs variables appelées inconnues
Une inéquation est une relation d'inégalité contenant une une plusieurs variables appelées inconnues
Résoudre une équation/inéquation d'inconnue \(x\) c'est trouver toutes les valeurs possibles de \(x\) vérifiant l'équation à résoudre.
Résolution d'équations/inéquations de degré 1
Définitions
Une équation/inéquation de degré 1 est une équation/inéquation dans laquelle, lorsque les expressions sont développées réduites, la plus grande puissance de l'inconnue est \(1\).
Méthode de résolution
Pour résoudre une équation de degré 1, on isole l'inconnue en additionnant, soustrayant, multipliant ou divisant les mêmes quantités des deux côtés de l'égalité.
Pour résoudre une inéquation de degré 1, on applique le même principe avec la contrainte supplémentaire suivante :
Si l'on multiplie (ou divise) par un nombre positif, l'inégalité reste inchangée.
Si l'on multiplie (ou divise) par un nombre négatif, l'inégalité change de sens.
\(\Leftrightarrow x < \dfrac{-40}{-31} = \dfrac{40}{31}\)
Donc \(S = \left]-\infty ; \dfrac{40}{31}\right]\)
S'entraîner à résoudre des équations et inéquations de degré 1 :
Résolution d'équations de degré 2 (et plus)
Définitions
Une équation de degré 2 est une équation dans laquelle, lorsque les expressions sont développées réduites, la plus grande puissance de l'inconnue est \(2\).
Règle du produit nul
Soient \(A(x)\) et \(B(x)\) deux expressions réelles.
Alors \(A(x)B(x) = 0 \)\(\Leftrightarrow A(x) = 0\) ou \(B(x) = 0\)
Méthode de résolution
Pour résoudre une équation de degré 2 :
On se ramène, par des additions/soustractions, à une équation de la forme \(A(x) = 0\)
On factorise le plus possible l'expression \(A(x)\)
On applique la règle du produit nul pour scinder l'équation en plusieurs équations de degré 1 que l'on résout.
L'ensemble des solutions de ces équations de degré 1 constitue l'ensemble des solution de l'équation de degré 2.
Cette méthode s'applique à la résolution d'équations de degré supérieur
\((2x-1)(5x-6) = 0\)
\(\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow 2x-1 = 0\)
ou
\(5x-6 = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x = 1\)
ou
\(5x = 6\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
ou
\(x = \dfrac{6}{5}\)
Donc \(S = \left\{\dfrac{1}{2} ; \dfrac{6}{5}\right\}\)
Une équation quotient est une équation dans laquelle il y a au moins un quotient avec une inconnue au dénominateur.
Propriétés
Soient \(A(x)\), \(B(x)\), \(C(x)\) et \(D(x)\) quatre expressions réelles. Alors :
\(\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \Leftrightarrow \)\(A(x) = 0\) pour tout réel \(x\) tel que \(B(x) \neq 0\)
\(\dfrac{A(x)}{B(x)} = \dfrac{C(x)}{D(x)}\)\( \Leftrightarrow A(x)D(x) = C(x)B(x)\) pour tout réel \(x\) tel que \(B(x) \neq 0\) et \(D(x) \neq 0\).
Méthode de résolution
Pour résoudre une équation quotient :
On détermine les valeurs de \(x\) qui annulent le dénominateur de chaque quotient de l'équation : ce sont les valeurs interdites.
On réduit chaque côté de l'égalité à une seule fraction afin d'avoir une équation de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)} = \dfrac{C(x)}{D(x)}\) ou \(\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0\)
On applique la propriété précédente pour se ramener à une équation sans quotient que l'on résout avec les méthodes précédentes.
Les solutions trouvées sont, si elles ne sont pas des valeurs interdites, les solutions de l'équation quotient.
Résolvons \(\dfrac{3x-2}{4x+1} = 0\) :
\(4x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{4}\) donc \(-\dfrac{1}{4}\) est la valeur interdite de l'expression \(\dfrac{3x-2}{4x+1}\)
Pour \(x \neq -\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{3x-2}{4x+1} = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x-2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{2}{3} \neq -\dfrac{1}{4}\) donc \(S = \left\{\dfrac{2}{3}\right\}\)