Chapitre 7 :
Translation et vecteurs
Translations et vecteurs
Définitions
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan.
-
\(C'\) est l'image de \(C\) par translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) si le quadrilatère ABC'C est un parallélogramme (éventuellement applati).
C'est à dire, \(AB = CC'\) et \(AC = BC'\).
Dans ce cas, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CC'}\) sont égaux. -
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) caractérise "un mouvement de \(A\) vers \(B\)".
Ses représentants dans un plan ont trois caractéristiques communes :- la direction : celle que porte la droite \((AB)\) ;
- le sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- la norme : la longueur du segment \([AB]\).
Méthodologie de tracé de translation
On considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un plan.Pour tracer le point \(D\), image de \(C\) par translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) :
- Si \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés :
Muni d'un compas : - On reporte la longueur \(AB\) sur le point \(C\) ;
- On reporte la longueur \(AC\) sur le point \(B\) ;
- Les deux arcs tracés s'intersectent au point \(D\).
- Si \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés :
Muni d'une règle et d'un compas : - On trace la droite \((AB)\) ;
- On reporte la longueur \(AB\) sur le point \(C\) dans le sens suivant : de \(A\) vers \(B\) ;
- L'arc tracé intersecte la droite \((AB)\) au point \(D\).
Propriété
\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si une de ces conditions est vérifiée :
- Les représentants de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) ont même direction, même sens et même norme.
- \(D\) est l'image de \(C\) par translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
- \(B\) est l'image de \(A\) par translation de vecteur \(\overrightarrow{CD}\)
- Le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Vecteurs particulier
- Le vecteur nul "ne caractérise aucun mouvement" : \(\overrightarrow{0} = \overrightarrow{AA}\)
-
\(\overrightarrow{BA}\) est le vecteur opposé à \(\overrightarrow{AB}\), noté \(-\overrightarrow{AB}\)
Les représentants de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont même direction et même norme, mais des sens opposés.
S'entraîner aux translations :
Somme de vecteurs
Vecteurs particulier
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs.le vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\) est le vecteur associé à la translation qui associe à tout point \(A\) le point \(C\), image du point \(B\) par translation de vecteur \(\vec{v}\), lui-même image de \(A\) par translation de vecteur \(\vec{u}\).
Propriétés
Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs, alors :
- \(\vec{u}+\vec{v} =\)\( \vec{v}+\vec{u}\) (on dit que l'addition est commutative)
- \((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w} =\)\( \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\) (on dit que l'addition est associtive)
- \(\vec{u}+\vec{0} =\)\( \vec{0}+\vec{u} = \vec{u}\)
Relations particulières
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan :
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Exemples d'utilisation de la relation de Chasles :
- \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)
- \(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF}\)
- \(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}\)
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\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}\) \(= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{BF}\) \(= \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}\) \(= \overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{EF}\)
S'entraîner à untiliser la relation de Chasles :
Produit d'un vecteur par un réel
Définition
Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k\) un réel. \(k\vec{u}\) est le vecteur dont ses représentants :
- ont la même direction que \(\vec{u}\) ;
- ont le même sens que \(\vec{u}\) si \(k\) est strictement positif, et ont un sens opposé à celui de \(\vec{u}\) si \(k\) est strictement négatif
- ont une norme égale à \(|k|\times ||\vec{u}||\)
Propriétés
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs, soient \(\lambda\) et \(\mu\) 2 réels. Alors :
- \(0\times \vec{u} =\)\( \vec{0}\) ; \(\lambda\times \vec{0} =\) \(\vec{0}\) ;
- \(\lambda \vec{u} = 0\) si et seulement si \(\lambda = 0\text{ ou }\vec{u} = \vec{0}\) ;
- \(\lambda(\vec{u}+\vec{v}) =\)\( \lambda \vec{u} + \lambda \vec{v}\) ;
- \((\lambda+\mu)\vec{u} =\)\( \lambda \vec{u} + \mu \vec{u}\) ;
- \(\lambda \times (\mu\vec{u}) =\)\( \mu \times (\lambda \vec{u}) = (\lambda \times \mu) \vec{u}\)
Les 3 dernières propriétés signifient qu'il et possible de développer, réduire et factoriser les expressions vectorielles "de la même façon que les expressions algébriques réelles".
S'entraîner à manipuler des expressions vectorielles :