Soient \(D\) et \(I\), deux ensembles. On définit une fonction \(f\) sur \(D\) vers \(I\) lorsque l'on associe à tout élément \(x\) de \(D\) un unique élément \(y\) de \(I\).
Dans ce cas on note \(f :\)
\(D\)
\(\rightarrow I\)
\(x\)
\(\mapsto y\)
\(D\) est appelé ensemble de définition de \(f\).
Pour tout nombre \(x \in D\), le nombre \(y \in I\) associé à \(x\) est appelé image de \(x\) par \(f\) et est noté \(f(x)\)
On dit aussi que \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).
Il y a différentes manières de représenter une fonction \(f\) :
En représentant \(f\) par une courbe, par exemple :
En donnant l'expression algébrique de \(f\), par exemple :
\(f(x) = 3x^2-1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
En donnant un tableau de valeurs de \(f\), par exemple :
\(x\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(f(x)\)
\(1\)
\(-2\)
\(-3\)
\(-2\)
\(1\)
\(6\)
En donnant un algorithme de \(f\), par exemple :
Lire x
x Prend_la_valeur x+1
x Prend_la_valeur x^2
y Prend_la_valeur 2x
Renvoyer y
Remarque
Soit \(f\) une fonction dont l'ensemble de définition est \(D\).
Tout nombre \(x\) de \(D\) possède une et une seule image par \(f\).
En revanche, pour tout nombre réel \(y\), il peut y avoir aucun antécédent, un ou plusieurs antécédents par \(f\).
Courbe représentative d'une fonction :
Soit \(f\) une fonction représentée par la courbe ci-contre :
L'ensemble de définition de \(f\) est \(D_f = [-1,5 ; 5]\).
L'image par \(f\) de \(1\) est \(1\) (\(f(1) = 1\))
\(f(2) = 3\)
\(f(-1) = 1\)
Les antécédents par \(f\) de \(1\) sont \(-1\) et \(1\).
L'antécédent par \(f\) de \(4\) est \(3,5\).
\(-1\) n'a pas d'antécédents par \(f\).
Un tableau de valeur de \(f\) est :
\(x\)
\(-1,5\)
\(-0,5\)
\(1\)
\(2,5\)
\(4\)
\(x\)
\(2,2\)
\(0,5\)
\(1\)
\(3,5\)
\(3,8\)
Expression algébrique :
Soit \(f : x \longmapsto x^2-2x+3\) :
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
\(f(4) = 4^2-2\times 4+3 = 16-8+3 = 11\)
\(f(-3) = (-3)^2-2\times (-3)+3 = 18\)
\(f(0) = 0^2-2\times 0+3 = 3\)
\(f(x) = 3\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+3 = 3\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x = 0\)
\(\Leftrightarrow x(x-2) = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) ou \(x-2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) ou \(x = 2\)
Donc les antécédents de \(3\) par \(f\) sont \(0\) et \(3\).
\(f(x) = 2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+3 = 2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1 = 0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x-1 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 1\)
Donc l'antécédent de \(2\) par \(f\) est \(1\).
Un tableau de valeurs de \(f\) est :
\(x\)
\(-10\)
\(-5\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{5}{2}\)
\(4\)
\(f(x)\)
\(123\)
\(38\)
\(\dfrac{22}{9}\)
\(\dfrac{17}{4}\)
\(11\)
S'entraîner à déterminer des ensembles de définition :
S'entraîner à déterminer une image :
S'entraîner à déterminer des antécédents :
Tracé de courbe représentative
Proposition
On considère une courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) d'une fonction \(f\) dans un plan muni d'un repère \((O,I,J)\), soit \(A (x_A;y_A)\) un point du plan.
Alors \(A\) appartient à la courbe \(\mathcal{C}_f\) si et seulement si \(f(x_A) = y_A\).
Méthodologie
Pour tracer la courbe représentative d'une fonction \(f\) :
On consigne dans un tableau de valeur des images de nombres arbitraires par \(f\).
Chaque colonne du tableau (\(x\) et \(f(x)\)) fourni les coordonnées d'un point de \(\mathcal{C}_f\).
En s'aidant éventuellement de la calculatrice, on relie les points déjà placés.
Soit \(f : x \mapsto x^2-1\). Pour tracer une courbe représentative de \(f\) :
On calcule des images de nombres choisis en fonction du graphique proposé, que l'on consigne de préférence dans un tableau de valeurs.
\(x\)
\(-3\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(f(x)\)
\(8\)
\(3\)
\(0\)
\(-1\)
\(0\)
\(3\)
\(8\)
Chaque colonne du tableau de valeur donne les coordonnées d'un point appartenant à la courbe représentative de \(f\) :
\((-3;8)\), \((-2;3)\), \((-1;0)\), \((0;-1)\), \((1;0)\), \((2;3)\) et \((3;8)\).
On place ces points dans le repère.
On relie ces points à main levée, sachant que \(f\) est une fonction du second degré donc sa courbe est une parabole.
S'entraîner à tracer une courbe représentative :
Résolutions graphiques
On considère deux fonctions \(f\) et \(g\) et \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) leur courbe représentative dans un plan muni d'un repère.
Proposition
Soit \(k\) un nombre réel.
Les solutions de l'équation \(f(x) = k\) sont les abscisses des points de la courbe \(\mathcal{C}_f\) ayant pour ordonnée \(k\).
Les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection des courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
Proposition
Soit \(\k) un nombre réel.
Les solutions de l'inéquation \(f(x) \geq k\) (resp. \(f(x) > k\)) sont les abscisses des points de la courbe \(\mathcal{C}_f\) ayant une ordonnée supérieure (resp. strictement supérieure) à \(k\).
Les solutions de l'inéquation \(f(x) \leq k\) (resp. \(f(x) < k\)) sont les abscisses des points de la courbe \(\mathcal{C}_f\) ayant une ordonnée inférieure (resp. strictement inférieure) à \(k\).
Les solutions de l'inéquation \(f(x) \geq g(x)\) (resp. \(f(x) > g(x)\)) sont les abscisses des points des parties de la courbe \(\mathcal{C}_f\) au-dessus (resp. strictement au-dessus) de la courbe \(\mathcal{C}_g\).
Les solutions de l'inéquation \(f(x) \leq g(x)\) (resp. \(f(x) < g(x)\)) sont les abscisses des points des parties de la courbe \(\mathcal{C}_f\) en dessous (resp. strictement en dessous) de la courbe \(\mathcal{C}_g\).
Soit \(f\) une fonction représentée par la courbe ci-contre :
L'équation \(f(x) = 2\) a pour ensemble des solutions \(S = \{-2 ; -1,3 ; 2,8\}\).
L'inéquation \(f(x) < 2\) a pour ensemble des solutions \(S = [-3,5 ; -2[ \cup ]-1,3 ; 2,8]\).
L'inéquation \(f(x) \leq 2\) a pour ensemble des solutions \(S = [-3,5 ; -2] \cup [-1,3 ; 2,8]\).
L'inéquation \(f(x) > 2\) a pour ensemble des solutions \(S = ]-2 ; -1,3[ \cup ]2,8 ; 3,5]\).
L'inéquation \(f(x) \geq 2\) a pour ensemble des solutions \(S = [-2 ; -1,3] \cup [2,8 ; 3,5]\).
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions représentées par les courbes ci-contre :
L'équation \(f(x) = g(x)\) a pour ensemble des solutions \(S = \{-1,3 ; 0,9 ; 2\}\).
L'inéquation \(f(x) > g(x)\) a pour ensemble des solutions \(S = ]-1,3 ; 0,9[ \cup ]2 ; 3,5]\).
L'inéquation \(f(x) \geq g(x)\) a pour ensemble des solutions \(S = [-1,3 ; 0,9] \cup [2 ; 3,5]\).
L'inéquation \(f(x) < g(x)\) a pour ensemble des solutions \(S = [-3,5 ; -1,3[ \cup ]0,9 ; 2[\).
L'inéquation \(f(x) \leq g(x)\) a pour ensemble des solutions \(S = [-3,5 ; -1,3] \cup [0,9 ; 2]\).
Etude de signe
Définitions
Soit \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\) une fonction :
Les racines de \(f\) sont les solutions de l'équation \(f(x) = 0\) (donc aussi les antécédent de \(0\) par \(f\)).
Étudier le signe de \(f\) c'est déterminer les sous-ensembles de \(D\) sur lesquels \(f\) est positive, ceux sur lesquels \(f\) est négative et ceux sur lesquelles \(f\) est nulle.
En général, l'étude de signe se présente avec un tableau de signes
Méthodologie : courbe représentative
Dans le cas où une courbe représentative de \(f\) est donnée (notée \(\mathcal{C}_f\)) :
Les racines de \(f\) sont les abscisses des intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec l'axe des abscisses.
\(f\) est positive lorsque \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de l'axe des abscisses.
\(f\) est négative lorsque \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de l'axe des abscisses.
Méthodologie : expression algébrique
Dans le cas où l'expression algébrique de \(f\) est donnée (\(f(x)\)) :
Les racines de \(f\) s'obtiennent en résolvant \(f(x) = 0\).
L'ensemble sur lequel \(f\) est strictement positive s'obtient en résolvant \(f(x) > 0\).
\item L'ensemble sur lequel \(f\) est strictement négative s'obtient en résolvant \(f(x) < 0\).
Remarque
Soit \(f(x) = A(x)B(x)\), où \(A\) et \(B\) sont deux fonctions de signe connus.
Alors le signe de \(f\) s'obtient en utilisant la règle des signe avec \(A\) et \(B\).
Soit \(f\) une fonction représentée par la courbe ci-contre :
L'ensemble de définition de \(f\) est \(D_f = [-4,5 ; 5]\).
Les racines de \(f\) sont \(-4\) ; \(-1\) ; \(2\) et \(4\).
\(f\) est strictement positive sur les intervalles \([-4,5 ; -4[\) ; \(]-1 ; 2[\) et \([4;5]\).
\(f\) est strictement négative sur les intervalles \(]-4 ; -1[\) et \(]2 ; 4[\).
Donc le tableau de signe de \(f\) est :
Soit \(g : x\longmapsto 2x+5\), définie sur \(\mathbb{R}\) :
\(g(x) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x+5 = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x = -5\)
\(\Leftrightarrow x = -\dfrac{5}{2}\)
Donc \(-\dfrac{5}{2}\) est l'unique racine de \(g\).
\(g(x) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2x+5 \geq 0\)
\(\Leftrightarrow 2x \geq -5\)
\(\Leftrightarrow x \geq -\dfrac{5}{2}\)
Donc \(g\) est strictement positive sur l'intervalle \(\left]-\dfrac{5}{2} ; +\infty\right[\).
On en déduit que \(g\) est strictement négative sur l'intervalle \(\left]-\infty ; -\dfrac{5}{2}\right[\).
Donc le tableau de signe de \(g\) est :
Soit \(h : x \longmapsto (4x-1)(-2-5x)\), définie sur \(\mathbb{R}\) :
\(h\) est le produit des fonctions \(x \longmapsto 4x-1\) et \(x \longmapsto -2-5x\) :
Etudions le signe de \(x \longmapsto 4x-1\) :
\(4x-1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4x = 1\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\)
Donc \(\dfrac{1}{4}\) est l'unique racine de \(x \longmapsto 4x-1\).
\(4x-1 > 0\)
\(\Leftrightarrow 4x > 1\)
\(\Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}\)
Donc \(x \longmapsto 4x-1\) est strictement positive sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{4} ; +\infty\right[\).
Etudions le signe de \(x \longmapsto -2-5x\) :
\(-2-5x = 0\)
\(\Leftrightarrow -5x = 2\)
\(\Leftrightarrow x = -\dfrac{2}{5}\)
Donc \(-\dfrac{2}{5}\) est l'unique racine de \(x \longmapsto -2-5x\).
\(-2-5x > 0\)
\(\Leftrightarrow -5x > 2\)
\(\Leftrightarrow x < -\dfrac{2}{5}\)
Donc \(x \longmapsto -2-5x\) est strictement positive sur l'intervalle \(\left]-\infty ; -\dfrac{2}{5}\right[\).
