Chapitre 5 :
Ensembles et intervalles
Généralités sur les ensembles
Définitions
Un ensemble A est "une collection d'objets", appelés éléments de A."\(a\) est un élément de \(A\)" (ou "\(a\) appartient à \(A\)") se note \(a \in A\).
Il y a deux manières de définir un ensemble :
- en extension : en écrivant un à un les éléments
- en compréhension : en décrivant les éléments par une propriété.
Définitions
On dit que \(A\) est un sous ensemble de \(B\), ou que \(A\) est inclus dans \(B\) (noté \(A \subset B\)), si tout élément de \(A\) est un élément de \(B\).
Proposition
Il existe un unique ensemble sans éléments : l'ensemble vide, noté \(\emptyset\).
Définitions
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Exemples d'ensembles définis en extension :
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\(\{1;2;3\}\) est l'ensemble contenant les nombres \(1\), \(2\) et \(3\).
On a \(1 \in \{1;2;3\}\) mais \(4 \notin \{1;2;3\}\).
Ensembles de nombres
Définitions
Parmi les nombres étudié jusqu'à présent, on distingue cinq ensembles :
- L'ensemble des entiers naturels, noté \(\mathbb{N}\), est l'ensemble des nombres entiers positifs ou nul.
- L'ensemble des entiers relatifs, noté \(\mathbb{Z}\), est l'ensemble des nombres entiers positifs, négatifs ou nul.
- L'ensemble des nombres décimaux, noté \(\mathbb{D}\), est l'ensemble des nombres pouvant s'écrire sous forme décimale finie.
- L'ensemble des nombres rationels, noté \(\mathbb{Q}\), est l'ensemble des nombres pouvant s'écrire sous forme de fraction entière.
- L'ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\), est l'ensemble de "tous les nombres connus en seconde".
Définition
A tout nombre réel \(x\) est associé un unique point \(M\) sur la droite réelle :Par défaut \(O\) est le point associé au nombre \(0\).
S'entraîner au ensembles de nombres :
Inégalités
Proposition
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels, on a :
- \(a \leq a\) (propriété de réflexivité).
- Si \(a \leq b\) et \(b \leq a\), alors \(a = b\) (propriété d'anti-symétrie)
- Si \(a \leq b\) et \(b \leq c\), alors \(a \leq c\) (propriété de transitivité)
Proposition
Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) quatre nombres réels, on a :
- Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\), alors \(a+c\)\(\leq\)\(b+d\)
- Soit \(a \leq b\) :
- Si \(c > 0\), alors \(ac\)\(\leq\)\(bc\) : l'ordre est conservé
- Si \(c < 0\), alors \(ac\)\(\geq\)\(bc\) : l'ordre est renversé
Intervalles
Définition
Un intervalle est un sous ensemble de \(\mathbb{R}\) constitué de nombres inférieurs ou supérieurs à une valeur ou compris entre deux valeurs.Il y a huit formes d'intervalles (pour \(a\) et \(b\) réels tels que \(a < b\)) :
| intervalle | Définition en compréhension | Représentation graphique |
| \(]-\infty ; a[\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; x < a\right\}\) |  |
| \(]-\infty ; a]\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; x \leq a\right\}\) |  |
| \(]a ; +\infty[\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; x > a\right\}\) |  |
| \([a ; +\infty[\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; x \geq a\right\}\) |  |
| \(]a; b[\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; a< x < b\right\}\) |  |
| \([a; b[\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; a\leq x < b\right\}\) |  |
| \(]a; b]\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; a< x \leq b\right\}\) |  |
| \([a; b]\) | \(\left\{x \in \mathbb{R} ; a\leq x \leq b\right\}\) |  |
- Les réels inférieurs \(2\) et strictement supérieurs à \(-1\) sont dans l'intervalle \(]-1 ; 2]\)
- L'ensemble \(\{ x \in \mathbb{R} ; x \geq 4\}\) est l'intervalle \([4 ; +\infty[\)
-
L'intervalle \([-3 ; 2[\) se schématise ainsi :
S'entraîner à manipuler les intervalles :
S'entraîner au équations/inéquations :
Valeur absolue
Proposition
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels, soient \(A\) et \(B\) les deux points représentant respectivement \(a\) et \(b\) sur la droite réelle.La distance entre \(A\) et \(B\), notée \(AB\) est donnée par :
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Définition
Soit \(x\) un nombre réel, soit \(M\) le point représentant le nombre \(x\) sur la droite réelle.La valeur absolue de \(x\), noté \(x\), est le nombre correspondant à la distance de \(M\) à \(O\) (représentant le nombre \(0\)).
On a \(|x| = \)\( \left\lbrace \begin{array}{l} x\text{ si }x \geq 0\\ -x\text{ si }x< 0 \end{array}\right.\)
Proposition
Pour tout réel positif \(a\) :
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\(|x| = a \Leftrightarrow\)\( x = -a\) ou \(x = a\)
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- \(|x| \leq a \Leftrightarrow \)\(-a \leq x \leq a\)
- \(|x| < a \Leftrightarrow \)\(-a < x < a\)
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- \(|x| \geq a \Leftrightarrow \)\(x \leq -a\) ou \(x \geq a\)
- \(|x| > a \Leftrightarrow \)\(x < -a\) ou \(x > a\)
- \(|2| = 2\), \(|-6| = -(-6) = 6\) et \(|0| = 0\)
- \(\sqrt{3}-1 = \sqrt{3}-1\) car \(1 < \sqrt{3}\)
- \(|\sqrt{7}-\sqrt{10}| = \sqrt{10}-\sqrt{7}\) car \(\sqrt{7} < \sqrt{10}\)
S'entraîner au valeurs absolues :
Encadrement et arrondi
Définition
Soit \(n\) un entier naturel.Pour tout nombre réel \(x\), il existe deux décimaux \(d_1\) et \(d_2\) à \(n\) décimales tels que \(d_1 \leq x \leq d_2\).\\ La donnée du plus grand nombre \(d_1\) et du plus petit nombre \(d_2\) vérifiant ces conditions est l'encadrement de \(x\) à \(10^{-n}\) près :
- \(d_1\) est la valeur arrondie par défaut de \(x\) à \(10^{-n}\) près.
- \(d_2\) est la valeur arrondie par excès de \(x\) à \(10^{-n}\) près.
Définition
Soit \(n\) un entier naturel.Pour tout nombre réel \(x\), il existe un unique nombre décimal \(d\) à \(n\) décimales tel que \(|x-d| \leq 0,5\times \dfrac{1}{10^n}\).
\(d\) est La valeur approchée de \(x\) à \(10^{-n}\) près.
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Un encadrement de \(\sqrt{2}\) d'amplitude \(10^{-5}\) est \(1,41421 < \sqrt{2} < 1,41422\)
La valeur arrondie à \(10^{-5}\) près par excès est \(1,41422\) et celle arrondie par défaut est \(1,41421\).\\ La valeur approchée à \(10^{-5}\) près est \(1,41421\). - La valeur approchée à \(10^{-7}\) près de \(\sqrt{2}\) est \(1,4142136\).
- L'ensemble des nombres ayant pour valeur approchée \(10,5\) est \([10,45 ; 10,55[\).