2nde : Chapitre 4

Définition

Un triangle est une figure fermée à 3 côtés.

Propriétés

Dans un triangle, la somme des angles vaut $180^{o}$ $α + β + γ = 180^{o}$
L'aire d'un triangle est donné par la formule : $A i r e = \frac{b a s e \times h a u t e u r}{2}$

Droites remarquables

Dans un triangle

A B C

:

La hauteur issue de $A$ est la droite perpendiculaire à $(B C)$ et passant par $A$ .
La médiane issue de $A$ est la droite passant par $A$ et par le mileu de $[B C]$ .
La médiatrice de $[B C]$ est la droite intersectant $[B C]$ en son milieu et de façon perpendiculaire.
La bissectrice issue de $A$ est la droite passant par $B$ et partageant l'angle $\hat{B A C}$ en deux angles de même mesure.

Propriétés des droites remarquables

Dans un triangle :

Les trois hauteurs sont concourantes. Ce point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
Les trois médianes sont concourantes. Ce point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle.
Les trois médiatrices sont concourantes. Ce point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les trois bissectrices sont concourantes. Ce point d'intersection est le centre du cercle inscrit au triangle.

Montrons que les médiatrices d'un triangle sont concourantes :
On considère un triangle

A B C

, soient

M_{1}

,

M_{2}

les médiatrices respectives de

[A B]

et

[B C]

.

M_{1}

et

M_{2}

, perpendiculaires à deux côtés adjacents d'un triangle, ne peuvent pas être parallèles donc sont sécantes en un point

Ω

:

$Ω$ appartient à $M_{1}$ , la médiatrice de $[A B]$ , donc $A Ω = B Ω$
$Ω$ appartient à $M_{2}$ , la médiatrice de $[B C]$ , donc $B Ω = C Ω$

On a donc l'égalité suivante :

B Ω = A Ω = C Ω

.

Ω

est équidistant des points

A

et

C

, ce point appartient donc aussi à la médiatrice de

[A C]

.
Donc les trois médiatrices du triangles sont concourantes en

Ω

.
De plus,

B Ω = A Ω = C Ω

donc le cercle de centre

Ω

et passant par

A

passe aussi par

B

et

C

, ce cercle est donc circonscrit au triangle

A B C

. C.Q.F.D.

Théorème de Thalès

Soient

A

,

B

,

C

,

D

et

S

cinq points tels que

A

,

B

et

S

soient alignés, de même pour

C

,

D

et

S

. Alors :
Les droites

(A C)

et

(B D)

sont parallèles si et seulement si

\frac{S A}{S B} = \frac{S C}{S D} = \frac{A C}{B D}

Définition

Un triangle

A B C

est isocèle en $A$ si les côtés

A B

et

A C

ont la même longueur :

A B = A C

.

Propriétés

On considère un triangle

A B C

isocèle en

A

. Alors :

Les angles $\hat{A B C}$ et $\hat{A C B}$ ont la même mesure.
La médiane, la hauteur et la bissectrice issue de $A$ ainsi que la médiatrice de $[B C]$ sont confondues.
Cette droite constitue également un axe de symétrie du triangle.

Définition

Un triangle

A B C

est équilatéral si les côtés

A B

,

A C

et

B C

ont la même longueur :

A B = A C = B C

.

Propriétés

On considère un triangle

A B C

équilatéral. Alors :

Les angles $\hat{A B C}$ , $\hat{A C B}$ et $\hat{B A C}$ mesurent tous $60^{o}$ .
Les médianes, hauteurs bissectrices et médiatrices sont confondues.
Ces droites constituent également les axes de symétrie du triangle.
Ces droites sont concourantes en un point qui constitue le centre de symétrie du triangle.

Définition

Un triangle

A B C

est rectangle en $A$ si les côtés

A B

et

A C

sont perpendiculaires.
Dans ce cas, le côté

B C

est appelé hypoténuse du triangle

A B C

.

Propriété

On considère un triangle

A B C

rectangle en

A

.
Alors l'angle

\hat{B A C}

mesure

90^{o}

.

Théorème de Pythagore

Soit

A B C

un triangle. Alors :

A B C

est rectangle en

A

si et seulement si

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

.

On considère un triangle

A B C

rectangle en

A

:

Soit

α

l'angle

\hat{A C B}

et

β

l'angle

\hat{A B C}

, alors

α + β + 90^{o} = 180^{o}

.
Donc on a

α + β = 90^{o}

.
On duplique le triangle

A B C

en quatre triangles identiques :

T_{1}

,

T_{2}

,

T_{3}

et

T_{4}

.
A partir de ces quatre triangles, on peut construire les deux figures ci-dessous :

Les deux figures ont quatre côtés de même longueur et au moins deux angles droits (car, pour la figure 2,

α + β = 90^{o}

), ce sont donc deux carrés identiques. Les deux figures ont donc la même aire.
En y retirant les quatres triangles

T_{1}

,

T_{2}

,

T_{3}

et

T_{4}

, on obtient donc deux figures ayant également la même aire. Or :

Si l'on soustrait les quatres triangles à la figure 1, on obtient le quadrilatère $C_{1}$ .
Par construction, il possède quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. $C_{1}$ est donc un carré de côté $B C$ .
Si l'on soustrait les quatres triangles à la figure 2, on obtient les quadrilatères $C_{2}$ et $C_{3}$ .
Par construction, ils possèdent quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. $C_{2}$ et $C_{3}$ sont donc des carrés de côté respectifs $A C$ et $A B$ .

Ainsi, l'aire de

C_{1}

est égal à la somme des aires de

C_{2}

et

C_{3}

.
Soit

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

C.Q.F.D.

Définition

Un Quadrilatère est une figure fermée à 4 côtés.

Propriétés

Dans un quadrilatère, la somme des angles vaut $360^{o}$
Un quadrilatère peut se décomposer en au moins deux triangles. Il est donc possible de calculer l'aire d'un quadrilatère en sommant l'aire des triangles le composant.

Définition

Un quadrilatère

A B C D

est un trapèze de base $A B$ si les côtés

A B

et

C D

sont parallèles.

Définition

Un quadrilatère

A B C D

est un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles :

(A B)

et

(C D)

sont parallèles ainsi que

(A C)

et

(B D)

.

Propriétés

On considère un parallélogramme

A B C D

. Alors :

Les côtés opposés ont la même longueur : $A B = C D$ et $A C = B D$ .
Les diagonales $A C$ et $B D$ s'intersectent en leur milieu.

Remarque

Un parallélogramme est un trapèze particulier.

Définition

Un quadrilatère

A B C D

est un rectangle si ses quatres angles

\hat{B A D}

,

\hat{A B C}

,

\hat{B C D}

et

\hat{C D A}

sont des angles droits.

Propriétés

On considère un rectangle

A B C D

. Alors :

Les côtés opposés ont la même longueur et sont parallèles :
$A B = C D$ , $A C = B D$ et les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles ainsi que $(A C)$ et $(B D)$ .
Les diagonales $A C$ et $B D$ ont la même longueur et s'intersectent en leur milieu.
Les médiatrices de chaque côté sont autant d'axes de symétrie du rectangle.
L'intersection de ces médiatrices est le centre de symétrie du rectangle.

Remarque

Un rectangle est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.

Définition

Un quadrilatère

A B C D

est un losange si ses quatres côtés ont la même longueur :

A B = B C = C D = A D

.

Propriétés

On considère un losange

A B C D

. Alors :

Les côtés opposés sont parallèles : $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles ainsi que $(A C)$ et $(B D)$ .
Les diagonales $A C$ et $B D$ s'intersectent en leur milieu et de façon perpendiculaire.
Les diagonales $A C$ et $B D$ sont des axes de symétrie du losange.
L'intersection de ces diagonales est le centre de symétrie du losange.

Remarque

Un losange est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.

Définition

Un quadrilatère

A B C D

est un carré si ses quatres angles

\hat{B A D}

,

\hat{A B C}

,

\hat{B C D}

et

\hat{C D A}

sont des angles droits. et si ses quatres côtés ont la même longueur :

A B = B C = C D = A D

.

Propriétés

On considère un carré

A B C D

. Alors :

Les côtés opposés sont parallèles : $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles ainsi que $(A C)$ et $(B D)$ .
Les diagonales $A C$ et $B D$ ont la même longuuer et s'intersectent en leur milieu et de façon perpendiculaire.
Les diagonales $A C$ et $B D$ et les médiatrices de chaque côtés sont autant d'axes de symétrie du carré.
L'intersection de ces droites est le centre de symétrie du carré.

Remarque

Un carré est un losange particulier et un rectangle particulier, donc un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.

Définition

Un cercle de centre $A$ est un ensemble de points

M

situés à égale distance du point

A

, cette distance étant appelée rayon du cercle.

Calcul de périmètre et d'aire

On considère un cercle de rayon

r > 0

. Alors :

Le périmètre du cercle est donné par la formule $2 π r$ .
L'aire du cercle est donné par la formule $π r^{2}$

Tangente à un cercle

Soit

C

un cercle et

B

un point de ce cercle.
La tangente au cercle $C$ passant par $B$ est la droite intersectant

C

en un seul point :

B

.

Propriété

Soit

C

un cercle de centre

A

et

B

un point de ce cercle.
Un droite

T

est tangente à

C

en

B

si et seulement si

T

est perpendiculaire à

(A B)

.

Définition

Un cercle est circonscrit à une figure si chaque sommet est un point du cercle.
Un cercle est inscrit dans une figure si chaque côté est une tangente au cercle.

Formules de trigonométrie

Dans un triangle

A B C

rectangle en

A

on a les relations suivantes :

$c o s (\hat{B}) =$ $\frac{A B}{B C}$
$s i n (\hat{B}) =$ $\frac{A C}{B C}$
$t a n (\hat{B}) =$ $\frac{A C}{A B}$

Propriété

Pour toute mesure d'angle

α

on a

c o s^{2} (α) + s i n^{2} (α) =

1

.

On considère un triangle

A B C

rectangle en

B

tel que

\hat{B A C}

mesure

α^{o}

:

Alors :

$c o s (α) = c o s (\hat{B A C}) = \frac{A B}{B C}$ donc $c o s^{2} (α) = {(\frac{A B}{B C})}^{2} = \frac{A B^{2}}{B C^{2}}$
$s i n (α) = s i n (\hat{B A C}) = \frac{A C}{B C}$ donc $c o s^{2} (α) = {(\frac{A C}{B C})}^{2} = \frac{A C^{2}}{B C^{2}}$

Donc

c o s^{2} (α) + s i n^{2} (α) = \frac{A B^{2}}{B C^{2}} + \frac{A C^{2}}{B C^{2}} = \frac{A B^{2} + A C^{2}}{B C^{2}}

Or

A B C

est rectangle en

B

donc, d'après le théorème de Pythagore,

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

Donc

c o s^{2} (α) + s i n^{2} (α) = \frac{A B^{2} + A C^{2}}{B C^{2}} = \frac{B C^{2}}{B C^{2}} = 1

C.Q.F.D.

Angles alternes-internes

Soient deux droites parallèles.
Alors toute droite sécante à l'une de ces droite (et donc à l'autre) engendre des angles alternes-internes et correspondants, de même mesure.

Angles au centre et angle inscrit

Lorsqu'un angle inscrit

α

intercepte le même arc qu'un angle au centre

β

alors

β = 2 α

.

Définition

Le projeté orthogonal du point

A

sur la droite

D

est le point

H

de

D

tel que

(A H)

soit perpendiculaire à

D

.

Proposition

La distance d'un point

A

à une droite

D

est la plus petite distance

A M

, où

M \in D

.
Cette distance est égale à

A H

, où

H

est le projeté orthogonal de

A

sur

D

.

On considère une droite

D

et un point

A

.
Soient

H

le projeté orthogonal de

A

sur

D

et

M

un point de la droite

D

distinct de

H

.

(A H)

est perpendiculaire à

D

donc le triangle

A H M

est rectangle en

H

.
Ce triangle ayant pour hypothénuse

A M

, on a donc

A M > A H

.
La distance

A H

est donc strictement inférieure à toute distance

A M

, où

M

est un point de

D

distinct de

H

. C.Q.F.D..

Chapitre 4 :
Géométrie plane

Triangles

Triangle isocèle

Triangle equilatéral

Triangle rectangle

Quadrilatères

Trapèze

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

Cercles

Angles

Projeté orthogonal

Chapitre 4 :Géométrie plane

Triangles

Triangle isocèle

Triangle equilatéral

Triangle rectangle

Quadrilatères

Trapèze

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

Cercles

Angles

Projeté orthogonal

Chapitre 4 :
Géométrie plane