2nde : Chapitre 4

Chapitre 4 :
Géométrie plane

Triangles

Définition
Un triangle est une figure fermée à 3 côtés.
Propriétés
  • Dans un triangle, la somme des angles vaut 180o
    α+β+γ=180o
  • L'aire d'un triangle est donné par la formule : Aire=base×hauteur2
Droites remarquables
Dans un triangle ABC :
  • La hauteur issue de A est la droite perpendiculaire à (BC) et passant par A.
  • La médiane issue de A est la droite passant par A et par le mileu de [BC].
  • La médiatrice de [BC] est la droite intersectant [BC] en son milieu et de façon perpendiculaire.
  • La bissectrice issue de A est la droite passant par B et partageant l'angle BAC^ en deux angles de même mesure.
Propriétés des droites remarquables
Dans un triangle :
  • Les trois hauteurs sont concourantes.
    Ce point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
  • Les trois médianes sont concourantes.
    Ce point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle.
  • Les trois médiatrices sont concourantes.
    Ce point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.
  • Les trois bissectrices sont concourantes.
    Ce point d'intersection est le centre du cercle inscrit au triangle.
Théorème de Thalès
Soient A, B, C, D et S cinq points tels que A, B et S soient alignés, de même pour C, D et S. Alors :
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles si et seulement si SASB=SCSD=ACBD

Triangle isocèle

Définition
Un triangle ABC est isocèle en A si les côtés AB et AC ont la même longueur : AB=AC.
Propriétés
On considère un triangle ABC isocèle en A. Alors :
  • Les angles ABC^ et ACB^ ont la même mesure.
  • La médiane, la hauteur et la bissectrice issue de A ainsi que la médiatrice de [BC] sont confondues.
    Cette droite constitue également un axe de symétrie du triangle.

Triangle equilatéral

Définition
Un triangle ABC est équilatéral si les côtés AB, AC et BC ont la même longueur : AB=AC=BC.
Propriétés
On considère un triangle ABC équilatéral. Alors :
  • Les angles ABC^, ACB^ et BAC^ mesurent tous 60o.
  • Les médianes, hauteurs bissectrices et médiatrices sont confondues.
    Ces droites constituent également les axes de symétrie du triangle.
    Ces droites sont concourantes en un point qui constitue le centre de symétrie du triangle.

Triangle rectangle

Définition
Un triangle ABC est rectangle en A si les côtés AB et AC sont perpendiculaires.
Dans ce cas, le côté BC est appelé hypoténuse du triangle ABC.
Propriété
On considère un triangle ABC rectangle en A.
Alors l'angle BAC^ mesure 90o.
Théorème de Pythagore
Soit ABC un triangle. Alors :
ABC est rectangle en A si et seulement si BC2=AB2+AC2.

Quadrilatères

Définition
Un Quadrilatère est une figure fermée à 4 côtés.
Propriétés
  • Dans un quadrilatère, la somme des angles vaut 360o
  • Un quadrilatère peut se décomposer en au moins deux triangles.
    Il est donc possible de calculer l'aire d'un quadrilatère en sommant l'aire des triangles le composant.

Trapèze

Définition
Un quadrilatère ABCD est un trapèze de base AB si les côtés AB et CD sont parallèles.

Parallélogramme

Définition
Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles : (AB) et (CD) sont parallèles ainsi que (AC) et (BD).
Propriétés
On considère un parallélogramme ABCD. Alors :
  • Les côtés opposés ont la même longueur : AB=CD et AC=BD.
  • Les diagonales AC et BD s'intersectent en leur milieu.
Remarque
Un parallélogramme est un trapèze particulier.

Rectangle

Définition
Un quadrilatère ABCD est un rectangle si ses quatres angles BAD^, ABC^, BCD^ et CDA^ sont des angles droits.
Propriétés
On considère un rectangle ABCD. Alors :
  • Les côtés opposés ont la même longueur et sont parallèles :
    AB=CD, AC=BD et les droites (AB) et (CD) sont parallèles ainsi que (AC) et (BD).
  • Les diagonales AC et BD ont la même longueur et s'intersectent en leur milieu.
  • Les médiatrices de chaque côté sont autant d'axes de symétrie du rectangle.
    L'intersection de ces médiatrices est le centre de symétrie du rectangle.
Remarque
Un rectangle est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.

Losange

Définition
Un quadrilatère ABCD est un losange si ses quatres côtés ont la même longueur :AB=BC=CD=AD.
Propriétés
On considère un losange ABCD. Alors :
  • Les côtés opposés sont parallèles : (AB) et (CD) sont parallèles ainsi que (AC) et (BD).
  • Les diagonales AC et BD s'intersectent en leur milieu et de façon perpendiculaire.
  • Les diagonales AC et BD sont des axes de symétrie du losange.
    L'intersection de ces diagonales est le centre de symétrie du losange.
Remarque
Un losange est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.

Carré

Définition
Un quadrilatère ABCD est un carré si ses quatres angles BAD^, ABC^, BCD^ et CDA^ sont des angles droits. et si ses quatres côtés ont la même longueur :AB=BC=CD=AD.
Propriétés
On considère un carré ABCD. Alors :
  • Les côtés opposés sont parallèles : (AB) et (CD) sont parallèles ainsi que (AC) et (BD).
  • Les diagonales AC et BD ont la même longuuer et s'intersectent en leur milieu et de façon perpendiculaire.
  • Les diagonales AC et BD et les médiatrices de chaque côtés sont autant d'axes de symétrie du carré.
    L'intersection de ces droites est le centre de symétrie du carré.
Remarque
Un carré est un losange particulier et un rectangle particulier, donc un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.

Cercles

Définition
Un cercle de centre A est un ensemble de points M situés à égale distance du point A, cette distance étant appelée rayon du cercle.
Calcul de périmètre et d'aire
On considère un cercle de rayon r>0. Alors :
Tangente à un cercle
Soit C un cercle et B un point de ce cercle.
La tangente au cercle C passant par B est la droite intersectant C en un seul point : B.
Propriété
Soit C un cercle de centre A et B un point de ce cercle.
Un droite T est tangente à C en B si et seulement si T est perpendiculaire à (AB).
Définition

Angles

Formules de trigonométrie
Dans un triangle ABC rectangle en A on a les relations suivantes :
  • cos(B^)=ABBC
  • sin(B^)=ACBC
  • tan(B^)=ACAB
Propriété
Pour toute mesure d'angle α on a cos2(α)+sin2(α)=1.
Angles alternes-internes
Soient deux droites parallèles.
Alors toute droite sécante à l'une de ces droite (et donc à l'autre) engendre des angles alternes-internes et correspondants, de même mesure.
Angles au centre et angle inscrit
Lorsqu'un angle inscrit α intercepte le même arc qu'un angle au centre β alors β=2α.

Projeté orthogonal

Définition
Le projeté orthogonal du point A sur la droite D est le point H de D tel que (AH) soit perpendiculaire à D.
Proposition
La distance d'un point A à une droite D est la plus petite distance AM, où MD.
Cette distance est égale à AH, où H est le projeté orthogonal de A sur D.