Chapitre 4 :
Géométrie plane
Triangles
Définition
| Un triangle est une figure fermée à 3 côtés. |  |
Propriétés
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Droites remarquables
Dans un triangle \(ABC\) :
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Propriétés des droites remarquables
Dans un triangle :
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Théorème de Thalès
Soient \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(S\) cinq points tels que \(A\), \(B\) et \(S\) soient alignés, de même pour \(C\), \(D\) et \(S\). Alors :Les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont parallèles si et seulement si \(\dfrac{SA}{SB} = \dfrac{SC}{SD} = \dfrac{AC}{BD}\)
Triangle isocèle
Définition
| Un triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) si les côtés \(AB\) et \(AC\) ont la même longueur : \(AB = AC\). |
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Propriétés
On considère un triangle \(ABC\) isocèle en \(A\). Alors :
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Triangle equilatéral
Définition
| Un triangle \(ABC\) est équilatéral si les côtés \(AB\), \(AC\) et \(BC\) ont la même longueur : \(AB = AC = BC\). |
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Propriétés
On considère un triangle \(ABC\) équilatéral. Alors :
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Triangle rectangle
Définition
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Un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) si les côtés \(AB\) et \(AC\) sont perpendiculaires. Dans ce cas, le côté \(BC\) est appelé hypoténuse du triangle \(ABC\). |
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Propriété
On considère un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\).Alors l'angle \(\widehat{BAC}\) mesure \(90^o\).
Théorème de Pythagore
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Soit \(ABC\) un triangle. Alors : \(ABC\) est rectangle en \(A\) si et seulement si \(BC^2 = AB^2+AC^2\). |
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Quadrilatères
Définition
| Un Quadrilatère est une figure fermée à 4 côtés. |
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Propriétés
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Trapèze
Définition
Un quadrilatère \(ABCD\) est un trapèze de base \(AB\) si les côtés \(AB\) et \(CD\) sont parallèles.
Parallélogramme
Définition
Un quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ainsi que \((AC)\) et \((BD)\).
Propriétés
On considère un parallélogramme \(ABCD\). Alors :
-
Les côtés opposés ont la même longueur : \(AB = CD\) et \(AC = BD\).
-
Les diagonales \(AC\) et \(BD\) s'intersectent en leur milieu.
Remarque
Un parallélogramme est un trapèze particulier.
Rectangle
Définition
Un quadrilatère \(ABCD\) est un rectangle si ses quatres angles \(\widehat{BAD}\), \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCD}\) et \(\widehat{CDA}\) sont des angles droits.
Propriétés
On considère un rectangle \(ABCD\). Alors :
-
Les côtés opposés ont la même longueur et sont parallèles :
\(AB = CD\), \(AC = BD\) et les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ainsi que \((AC)\) et \((BD)\).
-
Les diagonales \(AC\) et \(BD\) ont la même longueur et s'intersectent en leur milieu.
-
Les médiatrices de chaque côté sont autant d'axes de symétrie du rectangle.
L'intersection de ces médiatrices est le centre de symétrie du rectangle.
Remarque
Un rectangle est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.
Losange
Définition
Un quadrilatère \(ABCD\) est un losange si ses quatres côtés ont la même longueur :\(AB = BC = CD = AD\).
Propriétés
On considère un losange \(ABCD\). Alors :
-
Les côtés opposés sont parallèles : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ainsi que \((AC)\) et \((BD)\).
-
Les diagonales \(AC\) et \(BD\) s'intersectent en leur milieu et de façon perpendiculaire.
-
Les diagonales \(AC\) et \(BD\) sont des axes de symétrie du losange.
L'intersection de ces diagonales est le centre de symétrie du losange.
Remarque
Un losange est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.
Carré
Définition
Un quadrilatère \(ABCD\) est un carré si ses quatres angles \(\widehat{BAD}\), \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCD}\) et \(\widehat{CDA}\) sont des angles droits. et si ses quatres côtés ont la même longueur :\(AB = BC = CD = AD\).
Propriétés
On considère un carré \(ABCD\). Alors :
-
Les côtés opposés sont parallèles : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ainsi que \((AC)\) et \((BD)\).
-
Les diagonales \(AC\) et \(BD\) ont la même longuuer et s'intersectent en leur milieu et de façon perpendiculaire.
-
Les diagonales \(AC\) et \(BD\) et les médiatrices de chaque côtés sont autant d'axes de symétrie du carré.
L'intersection de ces droites est le centre de symétrie du carré.
Remarque
Un carré est un losange particulier et un rectangle particulier, donc un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.
Cercles
Définition
Un cercle de centre \(A\) est un ensemble de points \(M\) situés à égale distance du point \(A\), cette distance étant appelée rayon du cercle.
Calcul de périmètre et d'aire
On considère un cercle de rayon \(r > 0\). Alors :
- Le périmètre du cercle est donné par la formule \(2\pi r\).
- L'aire du cercle est donné par la formule \(\pi r^2\)
Tangente à un cercle
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et \(B\) un point de ce cercle.
La tangente au cercle \(\mathcal{C}\) passant par \(B\) est la droite intersectant \(\mathcal{C}\) en un seul point : \(B\).
Propriété
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(A\) et \(B\) un point de ce cercle.
Un droite \(\mathcal{T}\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\) si et seulement si \(\mathcal{T}\) est perpendiculaire à \((AB)\).
Définition
- Un cercle est circonscrit à une figure si chaque sommet est un point du cercle.
- Un cercle est inscrit dans une figure si chaque côté est une tangente au cercle.
Angles
Formules de trigonométrie
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) on a les relations suivantes :
- \(cos(\widehat{B}) =\)\( \dfrac{AB}{BC}\)
- \(sin(\widehat{B}) =\)\( \dfrac{AC}{BC}\)
- \(tan(\widehat{B}) =\)\( \dfrac{AC}{AB}\)
Propriété
Pour toute mesure d'angle \(\alpha\) on a \(cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha) =\)\( 1\).
Angles alternes-internes
Soient deux droites parallèles.
Alors toute droite sécante à l'une de ces droite (et donc à l'autre) engendre des angles alternes-internes et correspondants, de même mesure.
Angles au centre et angle inscrit
Lorsqu'un angle inscrit \(\alpha\) intercepte le même arc qu'un angle au centre \(\beta\) alors \(\beta = 2\alpha\).
Projeté orthogonal
Définition
Le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \(\mathcal{D}\) est le point \(H\) de \(\mathcal{D}\) tel que \((AH)\) soit perpendiculaire à \(\mathcal{D}\).
Proposition
La distance d'un point \(A\) à une droite \(\mathcal{D}\) est la plus petite distance \(AM\), où \(M \in \mathcal{D}\).
Cette distance est égale à \(AH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathcal{D}\).
Définition
| Un quadrilatère \(ABCD\) est un trapèze de base \(AB\) si les côtés \(AB\) et \(CD\) sont parallèles. |
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Définition
| Un quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ainsi que \((AC)\) et \((BD)\). |
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Propriétés
On considère un parallélogramme \(ABCD\). Alors :
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Remarque
Un parallélogramme est un trapèze particulier.
Rectangle
Définition
| Un quadrilatère \(ABCD\) est un rectangle si ses quatres angles \(\widehat{BAD}\), \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCD}\) et \(\widehat{CDA}\) sont des angles droits. |
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Propriétés
On considère un rectangle \(ABCD\). Alors :
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Remarque
Un rectangle est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.
Losange
Définition
| Un quadrilatère \(ABCD\) est un losange si ses quatres côtés ont la même longueur :\(AB = BC = CD = AD\). |
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Propriétés
On considère un losange \(ABCD\). Alors :
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Remarque
Un losange est un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.
Carré
Définition
| Un quadrilatère \(ABCD\) est un carré si ses quatres angles \(\widehat{BAD}\), \(\widehat{ABC}\), \(\widehat{BCD}\) et \(\widehat{CDA}\) sont des angles droits. et si ses quatres côtés ont la même longueur :\(AB = BC = CD = AD\). |
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Propriétés
On considère un carré \(ABCD\). Alors :
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Remarque
Un carré est un losange particulier et un rectangle particulier, donc un paralélogramme particulier, et donc aussi un trapèze particulier.
Cercles
Définition
| Un cercle de centre \(A\) est un ensemble de points \(M\) situés à égale distance du point \(A\), cette distance étant appelée rayon du cercle. |
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Calcul de périmètre et d'aire
On considère un cercle de rayon \(r > 0\). Alors :
- Le périmètre du cercle est donné par la formule \(2\pi r\).
- L'aire du cercle est donné par la formule \(\pi r^2\)
Tangente à un cercle
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Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et \(B\) un point de ce cercle. La tangente au cercle \(\mathcal{C}\) passant par \(B\) est la droite intersectant \(\mathcal{C}\) en un seul point : \(B\). |
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Propriété
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Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(A\) et \(B\) un point de ce cercle. Un droite \(\mathcal{T}\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\) si et seulement si \(\mathcal{T}\) est perpendiculaire à \((AB)\). |
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Définition
- Un cercle est circonscrit à une figure si chaque sommet est un point du cercle.
- Un cercle est inscrit dans une figure si chaque côté est une tangente au cercle.
Angles
Formules de trigonométrie
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) on a les relations suivantes :
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Propriété
Pour toute mesure d'angle \(\alpha\) on a \(cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha) =\)\( 1\).
Angles alternes-internes
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Soient deux droites parallèles. Alors toute droite sécante à l'une de ces droite (et donc à l'autre) engendre des angles alternes-internes et correspondants, de même mesure. |
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Angles au centre et angle inscrit
| Lorsqu'un angle inscrit \(\alpha\) intercepte le même arc qu'un angle au centre \(\beta\) alors \(\beta = 2\alpha\). |
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Projeté orthogonal
Définition
| Le projeté orthogonal du point \(A\) sur la droite \(\mathcal{D}\) est le point \(H\) de \(\mathcal{D}\) tel que \((AH)\) soit perpendiculaire à \(\mathcal{D}\). |
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Proposition
La distance d'un point \(A\) à une droite \(\mathcal{D}\) est la plus petite distance \(AM\), où \(M \in \mathcal{D}\).Cette distance est égale à \(AH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathcal{D}\).
