Chapitre 3 :
Puissance et racine carré

Puissance d'un nombre

Définition

Soit \(x\) un nombre réel non nul, et soit \(n\) un entier strictement positif :
Le nombre \(x^n\) (lu "\(x\) puissance \(n\)" ou "\(x\) exposant \(n\)") est le nombre égal à \(x^n = x\times x \times x \times ... \times x\) (le produit mentionné ayant \(n\) facteurs)

Opérations sur les puissances

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels, soient \(n\) et \(m\) deux entiers naturels. Alors :

\(a^n\times a^m = \)\(a^{n+m}\)
\(a^n\times b^n =\)\((a\times b)^n = (ab)^n\)
\((a^n)^m =\)\(a^{n\times m} = a^{nm}\)
\(\dfrac{a^n}{a^m}\)\( = a^{n-m}\)
\(\dfrac{a^n}{b^n} =\)\( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n\)

Ces propriétés nous permettent d'étendre la définition de puissance d'un nombre aux exposants nul et négatifs :

Propriété

Soit \(x\) un nombre réel non nul. Alors :

\(x^0 = \)\(1\)
Soit \(n\) un entier strictement positif, alors \(x^{-n} = \)\(\dfrac{1}{x^n}\)

Attention !

En général, \((a+b)^n \neq \)\(a^n+b^n\).
Par exemple : \((1+2)^3 = 3^3 = 27\) et \(1^3+2^3 = 1+8 = 9\)
De même en général, \(a^n\times b^m \)\(\neq (ab)^{n+m}\).
Par exemple : \(1^2\times 2^3 = 1\times 8 = 8\) et \((1\times 2)^{2+3} = 2^5 = 32\).

\(\dfrac{3^6}{3^8} = 3^{6-8} = 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2}\)
\(\dfrac{5^2}{3^2} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2\)
\(\dfrac{(5^2\times 2^3)^2}{4^2\times 5\times 7} = \dfrac{5^4\times 2^6}{(2^2)^2\times 5\times 7} = \dfrac{5^4\times 2^6}{2^4\times 5\times 7} = \dfrac{5^3\times 2^2}{5\times 7}\)

S'entraîner au calcul de puissances :

Ecriture scientifique

Dans certains domaines, par exemple en astrophysique ou en physique atomique, les valeurs manipulées sont très grandes ou très petites, nécessitant une notation spécifique pour éviter des lourdeurs :

Proposition-Définition

Tout nombre décimal \(N\) peut s'écrire sous la forme \(N = n \times 10^{p}\) où \(n \in ]1;10[\) et \(p\) entier (positif ou négatif).
Cette écriture est appelé écriture scientifique de \(N\).

\(123456789 = 1,23456789 \times 10^8\)
\(0,045601 = 4,5601 \times 10^{-2}\)

S'entraîner aux écritures scientifiques :

Racine carré

Définition

Soit \(x\) un nombre réel :
Pour \(x \geq 0\), La racine carré de \(x\) est l'unique nombre réel positif, noté \(\sqrt{x}\), tel que \(\sqrt{x}^2 = x\).
La racine carré est définie uniquement pour les nombres positifs ou nuls.

Racines carrés de référence

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(4\)

\(9\)

\(16\)

\(25\)

\(36\)

\(49\)

\(64\)

\(81\)

\(100\)

\(121\)

\(144\)

\(169\)

\(\sqrt{x}\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(5\)

\(6\)

\(7\)

\(8\)

\(9\)

\(10\)

\(11\)

\(12\)

\(13\)

Opérations sur les racines carrés

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels, soit \(n\) un entier. Alors :

\(\sqrt{a}\times \sqrt{b} =\)\(\sqrt{a\times b} = \sqrt{ab}\)
\(\sqrt{a}^{2n} =\)\( \left(\sqrt{a}^2\right)^n = a^n\)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\)\( \sqrt{\dfrac{a}{b}}\)

Attention !

En général, \(\sqrt{a+b} \neq \)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Par exemple : \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\) et \(\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7\)

Racine carré et carré

Soit \(x\) un nombre réel. Alors :

\(\sqrt{x}^2 = \)\(x\) si \(x \geq 0\).
\(\sqrt{x^2} = \)\( \left\lbrace \begin{array}{l} x\text{ si }x \geq 0\\ -x\text{ si }x < 0 \end{array}\right.\)

Multiplication par le conjugué

Pour tout réel \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(c \geq 0\) :
\(\dfrac{a}{b+\sqrt{c}} = \)\(\dfrac{a(b-\sqrt{c})}{(b+\sqrt{c})(b-\sqrt{c})} = \dfrac{ab-a\sqrt{c}}{b^2-c}\)

Simplification de radicaux :

\(\sqrt{50} = \sqrt{5\times 5\times 2} = \sqrt{5^2\times 2} = \sqrt{5^2}\times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{48} \times \sqrt{18} \)	\(= \sqrt{2\times 2\times 2\times 2\times 3}\times \sqrt{2\times 3\times 3}\)
	\(= \sqrt{2^4\times 3}\times \sqrt{2\times 3^2}\)
	\(= 2^2\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}\)
	\(= 4\times 3\times \sqrt{3\times 2}\)
	\(= 12\sqrt{6}\)

\(\dfrac{\sqrt{60}}{\sqrt{315}} = \dfrac{\sqrt{2\times 2\times 3\times 5}}{\sqrt{5\times 7\times 3\times 3}}\)	\(= \dfrac{\sqrt{2^2\times 3\times 5}}{\sqrt{3^2\times 5\times 7}}\)
	\(= \dfrac{2\sqrt{3\times 5}}{3\sqrt{5\times 7}}\)
	\(= \dfrac{2}{3}\times \sqrt{\dfrac{3\times 5}{5\times 7}}\)
	\(= \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{3}{7}}\)

S'entraîner au calcul de racines carrés :

\(\dfrac{1,234\times 10^{20}\times 7,654\times 10^{-5}}{(9,87\times 10^{-4})^2} = \dfrac{9,445036\times 10^{15}}{9,74169\times 10^{-7}} \)	\(= \dfrac{9,445036}{9,74169}\times \dfrac{10^{15}}{10^{-7}}\)
	\(\approx 0,969548 \times 10^{22}\)
	\(\approx 9,69548\times 10^{-1}\times 10^{22}\)
	\(\approx 9,69548\times 10^{21}\)

\(\dfrac{4}{1-\sqrt{3}} = \dfrac{4(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}\)	\(= \dfrac{4-4\sqrt{3}}{1-3}\)
	\(= \dfrac{4-4\sqrt{3}}{-2}\)
	\(= -2+2\sqrt{3}\)

\((9,87\times 10^{-4})^2 = 9,87^2\times (10^{-4})^2 = 97,4169 \times 10^{-8} \)	\(= 9,74169\times 10^1\times 10^{-8}\)
	\(= 9,74169\times 10^{-7}\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}= \dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{(\sqrt{8}+\sqrt{7})(\sqrt{8}-\sqrt{7})}\)	\(= \dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}{8-7}\)
	\(= 2\sqrt{2}-\sqrt{7}\)

Chapitre 3 :Puissance et racine carré

Puissance d'un nombre

Ecriture scientifique

Racine carré

Chapitre 3 :
Puissance et racine carré