Chapitre 1 :
Calul numérique et algébrique

A la différence du calcul numérique, aboutissant uniquement à un résultat particulier, le calcul algébrique permet de dégager des propriétés et formules utilisable dans un contexte plus général.
Le calcul algébrique repose donc sur des manipulation de quantités dont on ne connaît pas la valeur numérique, afin de conserver cette généralité.
Afin de pouvoir manipuler ces quantités, on leur attribue une lettre : \(x\), \(y\), \(z\), \(a\), \(b\), ...

Règles de calcul

Priorités des opérations

Dans le cadre du calcul :

\(a+b+c\) : pas de priorités
\(a\times b+c\) : priorité à \(a\times b\)
\(a\times (b+c)\) : priorité à \(b+c\)
\(a\times b\times c\) : pas de priorités
\(\dfrac{a}{b}+c\) : priorité à \(\dfrac{a}{b}\)
\(\dfrac{a+c}{b}\) : priorité à \(a+c\)
\(\dfrac{a}{b+c}\) : priorité à \(b+c\)
\(\dfrac{a}{b}\times c\) : pas de priorités

Toutes les propriétés sur les additions sont valables pour les soustractions.

\(1+4+7 = 5+7 = 12\)
\(5\times 10+2 = 50+2 = 52\)
\(5\times (10+2) = 5\times 12 = 60\)
\(2\times 3\times 5 = 6\times 5 = 30\)

Fractions

Priorités des opérations

Soient \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) quatre entiers :

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} = \)\(\dfrac{ad}{bd}+\dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad+bc}{bd}\)
\(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d} = \)\(\dfrac{ad}{bd}-\dfrac{bc}{bd} = \dfrac{ad-bc}{bd}\)
\(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d} = \)\(\dfrac{a\times c}{b\times d} = \dfrac{ac}{bd}\)
\(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c} = \)\(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{1}{c} = \dfrac{a}{bc}\)
\(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \)\(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}\)

\(\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{2} = \dfrac{4\times 2}{3\times 2} + \dfrac{5\times 3}{2\times 3} = \dfrac{8}{6}+\dfrac{15}{6} = \dfrac{8+15}{6} = \dfrac{23}{6}\)
\(\dfrac{5}{12} - \dfrac{7}{9} = \dfrac{5\times 3}{12\times 3} - \dfrac{7\times 4}{9\times 4} = \dfrac{15}{36}-\dfrac{28}{36} = \dfrac{15-28}{36} = -\dfrac{13}{36}\)
\(3-\dfrac{5}{4} = \dfrac{3\times 4}{4}-\dfrac{5}{4} = \dfrac{12}{4}-\dfrac{5}{4} = \dfrac{12-5}{4} = \dfrac{7}{4}\)

S'entraîner au calcul de fractions :

Développement et factorisation

Une expression dépend d'une ou plusieurs quantités inconnues, représentés par des lettres.
On ne peut très souvent pas arriver au final à un résultat numérique, mais on peut en modifier la forme.

Définitions

Développer et réduire une expression, c'est écrire une expression sous la forme d'une somme de termes, la somme devant posséder le moins de termes possibles.
Factoriser une expression c'est écrire une expression sous la forme d'un produit de facteurs.

Règles de distribution

Pour tout réel \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) :

\(c(a+b) = \)\(c\times a + c\times b\)
\((a+b)c = \)\(a\times c + b\times c\)
\((a+b)(c+d) = \)\(a\times c + a\times d + b\times c + b\times d\)

Règle du facteur commun

Pour tout réel \(a\), \(b\) et \(c\) : \(ac+bc = \)\((a+b)c\)

Identités remarquables

Pour tout nombre réel \(a\) et \(b\), on a les égalités suivantes appelées identités remarquables :

\((a+b)^2 = \)\(a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2 = \)\(a^2-2ab+b^2\)
\((a-b)(a+b) = \)\(a^2-b^2\)

\(3x(2x+1) = 3x\times 2x +3x\times 1 = 6x^2+3x\)
\((-5x-1)(3x-4)\) \(= -5x\times 3x-5x\times (-4)-1\times 3x-1\times(-4)\)

\(= -15x^2+20x-3x+4\)

\(= -15x^2+17x+4\)

S'entraîner au développement :

S'entraîner à la factorisation :

\((a+b)^2 = (a+b)(a+b)\)	\(= a\times a+a\times b+b\times a+b\times b\)
	\(= a^2+ab+ba+b^2\)
	\(= a^2+ab+ab+b^2\)
	\(= a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2 = (a-b)(a-b)\)	\(= a\times a-a\times b-b\times a+b\times b\)
	\(= a^2-ab-ba+b^2\)
	\(= a^2-ab-ab+b^2\)
	\(= a^2-2ab+b^2\)

\((a-b)(a+b)\)	\(= a\times a+a\times b-b\times a-b\times b\)
	\(= a^2+ab-ba-b^2\)
	\(= a^2-b^2\)

\(4x^2-2x\)	\(= 2\times 2\times x\times x - 2\times x\)
	\(= 2\times x\times \left(2\times x - 1\right)\)
	\(= 2x\left(2x-1\right)\)

\((3x-1)(5x+3)-(6x-2)(3x-1)\)	\(= (3x-1)\left[(5x+3)-(6x-2)\right]\)
	\(= (3x-1)\left(5x+3-6x+2\right)\)
	\(= (3x-1)\left(-x+5\right)\)

\((-5x-1)(3x-4)\)	\(= -5x\times 3x-5x\times (-4)-1\times 3x-1\times(-4)\)
	\(= -15x^2+20x-3x+4\)
	\(= -15x^2+17x+4\)

\((3x+4)^2\)	\(= (3x)^2+2\times 3x\times 4+4^2\)
	\(= 9x^2+24x+16\)

\((4x-2)^2\)	\(= (4x)^2-2\times 4x\times 2+2^2\)
	\(= 16x^2-16x+4\)

\((2x+4)(5x+3)-(3x+6)(3x-1)\)	\(= 2(x+2)(5x+3)-3(x+2)(3x-1)\)
	\(= (x+2)\left[2(5x+3)-3(3x-1)\right]\)
	\(= (x+2)\left(2\times 5x+2\times 3-3\times 3x+3\times 1\right)\)
	\(= (x+2)\left(10x+6-9x+3\right)\)
	\(= (x+2)\left(x+9\right)\)

\((2x+1)^2 - (x-3)^2\)	\(= \left[(2x+1)-(x-3)\right]\left[(2x+1)+(x-3)\right]\)
	\(= (2x+1-x+3)(2x+1+x-3)\)
	\(= (x+4)(3x-2)\)

\((6x-7)(6x+7)\)	\(= (6x)^2-7^2\)
	\(= 36x^2-49\)

\((6x-7)(6x+7)\)	\(= (6x)^2-7^2\)
	\(= 36x^2-49\)

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Fractions

Développement et factorisation

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Calul numérique et algébrique